Question

（本小题满分12分）

如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三 动点D,E,M满足=t,  = t ,

 =t , t∈[0,1].   

(Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围;   

(Ⅱ) 求动点M的轨迹方程.

Answer

(Ⅰ) kDE∈[－1，1]．

(Ⅱ) 所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]

【解析】解法一: 如图， (Ⅰ)设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由=t，

  = t ， 知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)． 

∴  同理 ．

∴kDE =  = = 1－2t．

∵t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．

(Ⅱ) ∵=t  ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)

=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)．

∴  ， ∴y= ， 即x2=4y．∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．

即所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]

解法二: (Ⅰ)同上．

(Ⅱ) 如图， =+ = +  t = + t(－) = (1－t) +t，

 = + = +t = +t(－) =(1－t) +t，

 = += + t= +t(－)=(1－t) + t

= (1－t2)  + 2(1－t)t+t2 ．

设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得

     消去t得x2=4y

∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．

故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]