Question

(本题满分14分)

已知椭圆 ，直线，F为椭圆的右焦点，M为椭圆上任意一点，记M到直线L的距离为d.

(Ⅰ)　求证：为定值；

(Ⅱ) 设过右焦点F的直线m的倾斜角为，m交椭圆于A、B两点，且，求的值。

Answer

(Ⅰ)证明略

(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)证明：设M(x,y), 则a=5,b=3,c=4,F(4,0) -----------2分

∵∴，，  ------------5分

为定值。                       --------------7分

(Ⅱ) 解法一：显然，过A、B作L的垂线，A1 , B1为垂足，F到L的距离为，

由(Ⅰ)知                ------------9分

当θ为锐角时，

 由

得            --------------12分

当θ为钝角时，同理可得 

 从而           ---------------14分

解法二：显然，设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线m的方程为x=my+4，

代入椭圆，整理得，   

          ⑴                       ------------9分

  由    ⑵ --------10分

⑵代入⑴得：----13分

                ------------14分