Question

（本小题满分13分）

如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.

（Ⅰ）求证：⊥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer

（1）   略

（2）   略

（3）  

【解析】（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱. ………………1分

因为平面，所以， ………………2分

又因为，为中点，

所以.              ……………3分

因为,

所以平面.       ……………4分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，

又为中点，所以为中位线，

所以，            ………………6分

因为平面，平面，

所以平面.       ………………8分

 (Ⅲ)【解析】
因为侧面，均为正方形， ，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.

设，则.

，                             ………………9分

设平面的法向量为，则有

，， ，

取，得.                             ……………10分

又因为平面，所以平面的法向量为，………11分

，                     …………12分

因为二面角是钝角，

所以，二面角的余弦值为.               ……………13分