Question

（本小题满分14分）

已知数列，满足，其中.

（Ⅰ）若，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，且.

（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；

（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.

Answer

（1）

（2）设集合，

当时，数列中必有某数重复出现无数次.

当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.

【解析】【解析】
（Ⅰ）当时，有

 …………2分

.                              ………………3分

又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，  ……………5分

所以

，

所以数列为等差数列.                                    ………………7分

（ⅱ）设，（其中为常数且），所以

所以数列均为以7为公差的等差数列.                    ………………9分

设，

（其中，为中的一个常数），

当时，对任意的有；                 ………………10分

当时，

………………11分

①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；

②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列……12分

综上：设集合，

当时，数列中必有某数重复出现无数次.

当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分