Question

如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论

Answer

(Ⅰ)证明： 因为平面，

所以.          ……………………2分

因为是正方形，

所以，

从而平面.     ……………………4分

(Ⅱ)【解析】
因为两两垂直，

所以建立空间直角坐标系如图所示.

因为与平面所成角为，即，            ………………5分

所以.

由可知，.                           ………………6分

则，，，，，

所以，，                      ………………7分

设平面的法向量为，则，即，

令，则.                                  …………………8分

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.                  …………………9分

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.       ………………10分

(Ⅲ)【解析】
点是线段上一个动点，设.

则，

因为平面，

所以，                                           …………………11分

即，解得.                               …………………12分

此时，点坐标为，，符合题意.           …………………13分

【解析】略