Question

已知函数，其中.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.

（其中为自然对数的底数）

Answer

【解析】
（Ⅰ），（），                                 ……………3分

在区间和上，；在区间上，.

所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.   ………4分

（Ⅱ）设切点坐标为，则          ……………7分（1个方程1分）

解得，.                                               ……………8分

（Ⅲ），

则，                                        …………………9分

解，得，

所以，在区间上，为递减函数，

在区间上，为递增函数.                      ……………10分

当，即时，在区间上，为递增函数，

所以最大值为.                      ………………11分

当，即时，在区间上，为递减函数，

所以最大值为.                             ………………12分

当，即时，的最大值为和中较大者；

，解得，

所以，时，最大值为，        …………………13分

时，最大值为.                …………………14分

综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.

【解析】略