Question

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).

(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列;    (2)求数列{an}的通项公式;

(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.

Answer

(1)略

(2) an=

(3)略

【解析】(1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),

即bn=qbn-1,n≥2.

又b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.

(2)解:由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…

an-an-1=qn-2(n≥2).

将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2).

所以当n≥2时,an=

上式对n=1显然成立.

(3)解:由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1.

由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,

由q≠0q3-1=1-q6,                                       ①

整理得(q3)2+q3-2=0,

解得q3=-2或q3=1(舍去).

于是q=.

另一方面,an-an+3=,

an+6-an=

由①可得an-an+3=an+6-an,n∈N*.

所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.