Question

己知．

（Ⅰ） ，函数在其定义域内是减函数，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明函数只有一个零点；

（Ⅲ） 若函数的两个零点,求证:．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）证明略

（Ⅲ）证明略

【解析】（Ⅰ）依题意：

在上递减，对恒成立

即对恒成立，只需

当且仅当时取

（Ⅱ）当时，，其定义域是

时，当时，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

当时，函数取得最小值，即

当时，

函数只有一个零点

（Ⅲ）由已知得

两式相减，得

由

设，

在上递增，

即