Question

选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，

交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若，求的值.

                      

Answer

（1）略

（2）=

【解析】（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，求的值.

略证 （１） 连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC           ……2分

∴OD∥AE   又AE⊥DE                     …………3分

∴DE⊥OD，又OD为半径  ∴ DE是的⊙O切线 …………5分

⑵  提示：过D作DH⊥AB于H  则有∠DOH=∠CAB

 Cos∠DOH=cos∠CAB=            ……………………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x

∴AH=8x   AD2=80x2

由△AED∽△ADB可得 AD2=AE·AB=AE·10x   ∴AE=8X…………8分

又由△AEF∽△DOF    可得AF∶DF= AE∶OD =；

∴=……10分