Question

（本小题满分12分）

已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点、分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

                  

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角的余弦值是．

【解析】【解析】
（Ⅰ）∵点分别是、的中点，

∴ ．        …… 2分

∴ ∠．

∴ 又⊥，

∴  ∴                                                   

∵ ,

∴ ⊥平面．           …… 4分

∵ 平面,

∴ ．                     …… 6分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．

则（－1，0，0），（－2，1，0），

（0，0，1）．∴=（－1，1，0），

=（1，0，1）,        ……8分

设平面的法向量为，则

 ……10分

令，得，

∴ ．

显然，是平面的一个法向量=（）．       

∴  cos<，>=． 

∴ 二面角的余弦值是．       ………………12分