Question

（本小题满分12分）

已知函数，

   （1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

   （2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

   （3）当时，证明： ．

Answer

（1）

（2）存在实数，使得当时有最小值3．

（3）略

【解析】【解析】
（1）在上恒成立，

    令 ，有  得       ……………… 3分

    得                                               ………………4分

   （2）假设存在实数，使（）有最小值3，

                                       ………………5分

    ①当时，在上单调递减，，（舍去），

    ②当时，在上单调递减，在上单调递增

    ，，满足条件． 

    ③当时，在上单调递减，，（舍去），

    综上，存在实数，使得当时有最小值3． ………………8分

    （3）令，由（2）知，

    ．令，，

    当时，，在上单调递增 

    ∴ 

     即．       ………………12分