Question

（本小题满分12分）

设a∈R，函数f（x）= e -x（ax2 + a + 1），其中e是自然对数的底数；

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当 -1＜a＜0 时，求函数f（x）在 [ 1，2 ] 上的最小值。

Answer

（1）由已知：f′（x）=-e-x（ax2+a+1）+ e-x·2ax=e-x（-ax2+2ax-a-1）。

因为e-x＞0，只需讨论g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情况；

当a=0时，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，

所以f（x）在R上是减函数；

当a＞0时，g（x）=0的△=4a2-4（a2+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，

所以f（x）在R上是减函数；  （4分）

当a＜0时，g（x）=0有两根，且＜。

所以，在区间（-∞，）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数，

在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数，

在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数。

综上所述，当a≥0时，f（x）的单调减区间为（-∞，+∞），

当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，）和（，+∞），

f（x）的单调减区间为（，）。（8分）

（2）当-1＜a＜0时，＜1，＞2，所以，在[1，2]上，f（x）单调递减，

所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=。（12分）

【解析】略