Question

（本题满分14分）

    设函数，其中

   （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

   （Ⅱ）是否存在负数，使对一切正数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）曲线在点处的切线的方程为

（Ⅱ）负数存在，它的取值范围为

【解析】【解析】
（Ⅰ）由题意可知，当时，

    则…………2分

    曲线在点处的切线斜率…………3分

    曲线在点处的切线的方程为

    即…………5分

   （Ⅱ）设函数…………6分

    假设存在负数，使得对一切正数都成立。

    即：当时，的最大值小于等于零。

    …………9分

    令可得：

    （舍）…………11分

    当时，单增；

    当时，单减，

    所以在处有极大值，也是最大值。

    解得：…………13分

    所以负数存在，它的取值范围为…………14分