Question

(14分)已知函数.

(1)求函数的单调区间和极值.

(2)若对满足的任意实数恒成立,求实数的取值范

围(这里是自然对数的底数).

(3)求证:对任意正数、、、,恒有

.

Answer

(1) 的增区间为,减区间为和.……4分

极大值为,极小值为.

(2)

（3）略

【解析】解.

(1) 

∴的增区间为,减区间为和.……4分

极大值为,极小值为.           .……6分

(2)原不等式可化为,                                   ……7分

由(1)知时,的最大值为.∴的最大值为,

由恒成立的意义知,从而                    ……9分

(3)设,则

.

∴当时,,故在上是减函数,                  ……11分

又当、、、是正实数时,

∴.                             ……12分

由的单调性有,

即          ……14分