Question

如图一，平面四边形关于直线对称，．

把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）

（2）略

（3）

【解析】【解析】
（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角， ……………………2分

在中，

    ………………………………………4分                                                                                                                     

（Ⅱ）由，

，   又平面．………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角．……12分

方法二：设点到平面的距离为，

∵              

  于是与平面所成角的正弦为   ．

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，

 则．

设平面的法向量为，则

， ，

取，则，  于是与平面所成角的正弦即

．