Question

设二次函数的图像过原点，，的导函数为，且，

（1）求函数，的解析式；

（2）求的极小值；

（3）是否存在实常数和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。

Answer

（1）。

（2）

（3）存在这样的实常数和，且。

【解析】解 ：（1）由已知得，

则，从而，

∴…………………………………………2分

∴，。

由 得，解得

。………………………………4分

（2），

求导数得。…………6分

在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而的极小值为。……8分

（3）因  与有一个公共点(1,1),

而函数在点(1,1)的切线方程为……………………9分

下面验证都成立即可。

由 ，得，知恒成立。

设，即 ，

求导数得，

在(0,1)上单调递增，在上单调递减，所以 的最大值为，所以恒成立。

故存在这样的实常数和，且。…………………12分