Question

（本题满分12分）

已知函数其中a>0，e为自然对数的底数。

（I）求

（II）求的单调区间；

（III）求函数在区间[0，1]上的最大值。

Answer

（I）f’(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.

（II）函数f（x）在区间（-∞,-）内为增函数，在区间（-，0）内为减函数，

在区间（0，+∞）内为增函数.

（III）f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=ea.

【解析】【解析】
（I）f’(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax. ………………………………………3分

(II)∵a>0,eax>0

当2x+ax2>0时，得x<-…………………………………………6分

当2x+ax2<0时，得…………………………………………………9分

所以，函数f（x）在区间（-∞,-）内为增函数，在区间（-，0）内为减函数，

在区间（0，+∞）内为增函数.………………11分

（III）函数f（x）在区间[0，+∞）内为增函数，

∴f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=ea.…………………………………12分