Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC上一点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=MC，试确定的值.

Answer

证明：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．    ………………… 2分

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，                …………………… 4分

∴BQ⊥平面PAD．                           …………………… 5分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．                       ………………… 6分

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点,

∴ BC // DQ 且BC= DQ， 

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． 

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．  

∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．                   

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．           

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．                    

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

 ∴PQ⊥平面ABCD．                     …………………………  8分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；

，，，．…11分

设，

则，，

∵，

∴ ，   

∴             ………… 10分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．  … 11分

∵二面角M-BQ-C为30°，  ，

∴ ．                  ………………  12分

【解析】略