Question

（本小题满分14分）函数.

（1）若函数内单调递增，求a的取值范围；

（2）求函数上的最小值.

Answer

（1）a的取值范围为［1,+∞)

（2）f(x)在［1,2］上的最小值为

①当0＜a≤时，f(x) min=ln2-；

②当＜a＜1时，f(x) min=-lna+1-.

③当a≥1时，f(x) min=0

【解析】【解析】
f′(x)=  (x＞0).  ………………………………………………………2分

（1）由已知，得f′(x)≥0在［1,+∞)上恒成立，

即a≥在［1,+∞)上恒成立

又∵当x∈［1,+∞)时，≤1，

∴ a≥1. 即a的取值范围为［1,+∞)  …………………………………………………6分

（2）当a≥1时，∵ f′(x)＞0在（1，2）上恒成立，

f（x）在［1，2］上为增函数

∴ f（x）min=f(1)=0 …………………………………………………………………………………8分

当0＜a≤，∵f′(x)＜0在（1，2）上恒成立，这时f(x)在［1,2］上为减函数

∴ f（x）min=f(2)=ln2-.……………………………………………………………10分

当＜a＜1时，

∵x∈［1，)，f′(x)＜0； x∈(，2］，f′(x)＞0，

∴ f(x) min=f()=-lna+1-.……………………………………………………12分

综上，f(x)在［1,2］上的最小值为

①当0＜a≤时，f(x) min=ln2-；

②当＜a＜1时，f(x) min=-lna+1-.

③当a≥1时，f(x) min=0 ……………………………………………………………14分