Question

（本小题满分12分）

已知圆的方程为，为坐标原点.

（Ⅰ）求过点的圆的切线方程；

（Ⅱ）若圆上有两点关于直线对称，并且满足，求

的值和直线的方程；

（Ⅲ）过点作直线与圆交于两点，求的最大面积以及此时直线的斜率.

Answer

(1)

(2)

(3) 的最大面积为8，此时直线的斜率为.

【解析】【解析】
（Ⅰ）圆的标准方程为，圆心为，半径

设过点的切方程为，即，

则，解得

切线方程为                                       ----------------3分

当斜率不存在时，也符合题意.

故求过点的圆的切线方程为：或.    ----------------4分

（Ⅱ）因为点在圆上且关于直线对称，

∴圆心在直线上，代入得.------------------------------5分

因为直线与直线垂直，

所以可以设，方程为.

将直线代入圆C的方程，得.------------------------------------------6分

,得.

由根与系数的关系得

因为

所以

即,解得,

故所求的直线方程为.--------------------------------8分

（Ⅲ）当直线的斜率不存在时,,               ----------------------------9分

当直线的斜率存在时,设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，线段的长度，

所以，，

当且仅当时取等号，此时，解得

所以，的最大面积为8，此时直线的斜率为.      --------12分