Question

（本小题满分12分）

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，

∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BCAD，

∠BAD=90°，AD=2 BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点.

（Ⅰ）求证：EF平面PBO；

（Ⅱ）求二面角A- PF - E的正切值.

Answer

【解析】
（Ⅰ）取BP中点G，连EG，由E为PC中点

故EG又F为OD中点

∴OF=

∴EGOF，故四边形OFEG为平行四边形…………（3分）

∴EF∥GO   则EF∥面PBO……………………………（4分）

(Ⅱ) 连CO，OP，则BA∥CO，又AB⊥AD，面ABCD⊥面APD

∴CO⊥面APD  故面COP⊥面APD………………………………………（6分）

过E作EN⊥OP于N，则EN⊥面APD

过N作NH⊥PF于H，连EH，

则EH⊥PF，故∠NHE为二面角A-PF-E的平面角……………………（8分）

由于E为PC中点，故EN=CO=AB=1

∵∠APD=90°，AD=4，PD=2

由O为AD的中点，故OD=2，又F为OD的中点，可知PF⊥AD

从而NH∥OD    又N是DP的中点    ∴H为PF的中点

∴NH=OF=……………………………………………………（11分）

∴tan∠NHE==2

∴二面角A-PF-E平面角的正切值为2. ……………………………（12分）

【解析】略