Question

（本小题满分12分）

如图：在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A₁C₁的中点.

(1) 求证：面MNP∥面A₁C₁B；(2) 求证：MO⊥面A₁C₁.

Answer

证明：（1） 连结D1C， MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.………………2分

又∵D1C∥A1B∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.…………………………………………… 4分

而MN与MP相交，MN，MP面MNP，A1B，

A1B面A1C1B.∴面MNP∥面A1C1B.………………6分

证明：（2） 法1，连结C1M和A1M，设正方体的边长为a，

∵正方体ABCD—A1B1C1D1，∴C1M=A1M，

又∵O为A1C1的中点，

∴A1C1⊥MO………………………………………………8分

连结BO和BM，在三角形BMO中，

第20题答案图（1）

经计算知：

∴OB2+MO2=MB2，

即BO⊥MO.而A1C1，BO面A1C1B，∴MO⊥面A1C1B.

…………………………………………………………12分

法2，连结AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的中点,

∵AD⊥面ABB1A1,A1B面ABB1A1,∴AD⊥A1B.

又A1B⊥A1B,AD和AB1是面AB1D内两条相交直线,  

∴A1B⊥面AB1D,…………………………………………8分

又B1D面AB1D,∴A1B⊥B1D.同理:BC1⊥B1D.                       第20题答案图（2）

又A1B和BC1是面A1BC1内两条相交直线,∴B1D⊥面A1BC1.………………………10分

∵OM是△D1B1D的中位线,∴OM∥B1D.∴OM⊥面A1BC1.…………………………12分

【解析】略