Question

（本小题满分14分）

设函数.

(1) 试问函数f(x)能否在x=-1时取得极值？说明理由；

(2) 若a=-1，当x∈［-3,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围.

Answer

【解析】
（1） 由题意f′(x)=x2-2ax-a，

假设在x=-1时f(x)取得极值，则有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，……………………… 4分

而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.

这与f(x)在x=-1有极值矛盾，所以f(x)在x=-1处无极值.…………………………… 6分

（2） 设f(x)=g(x)，则有x3-x2-3x-c=0，∴c=x3-x2-3x,

设F(x)= x3-x2-3x,G(x)=c，令F′(x)=x2-2x-3=0,解得x1=-1或x=3.

列表如下：

l  x

l  -3

l  (-3,-1)

l  -1

l  (-1,3)

l  3

l  (3,4)

l  4

l  F′(x)

l   

l  +

l  0

l  -

l  0

l  +

l   

l  F(x)

l  -9

l  增

l 

l  减

l  -9

l  增

l  -

由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数.……………………10分

当x=-1时，F(x)取得极大值；当x=3时，F(x)取得极小值

F(-3)=F(3)=-9，而

如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，

所以或c=-9.……………………………………………14分

【解析】略