Question

(本小题满分12分)

四棱锥P—ABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，，E、G分别是BC、PE的中点。

（1）求证：ADPE；

（2）求二面角E—AD—G的正切值。

Answer

(1) 略

(2)

【解析】解法一：

   （1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE

 （ 2分）

    又E是BC的中点，

    ∴  （4分）

    又OP∩OE=0，∴平面OPE。

而平面OPE， ∴      （ 6分）

（2）取OE的中点F，连结FG，OG，则由（1）易知ADOG，又OEAD，

    ∴就是二面角E—AD—G的平面角  （ 9分）

  ∵PA=PD，，∴△APD为等边三角形，且边长为2

∴OP=，    ∴

 ∴   （12分）

    解法二：（1）同解法一。

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（1，0，0），D（―1，0，0），P（0，0，），E（0，2，0）

    ∴  （8分）

    设平面ADG的法向量为

    由，      得

    ∴   10分

    又平面EAD的一个法向量为

    又因为       （11分）

    ∴二面角E—AD—G的余弦值为   （ 12分）