Question

(本小题满分12分) 已知各项均为正数的数列满足: （），且.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）证明:（）

（Ⅲ）若，令，设数列的前项和为（），试比较与的大小.

Answer

(1) 略

(2)

【解析】．解:（Ⅰ）∵，

（法一,即

又,所以有,所以，法二 令

则有，可得）

∴   所以数列是公比为2的等比数列  （2分）

由 得,解得

故数列的通项公式为   （4分）

（Ⅱ）①当时，,上面不等式显然成立；（5分）

②假设当时，不等式成立

当时，

综上①②对任意的均有    （8分）

（Ⅲ）因，所以

即数列是首项为4,公比是4的等比数列   （9分）

所以，   （10分）

又 ∴－＝－

＝

所以对任意的均有   （12分）