Question

（14分）设函数,其中

 (1)当时，讨论函数f(x)的单调性；

 (2)若函数仅在处有极值,求的取值范围；

 (3)若对于任意的,不等式在[-1,1]上恒成立,求b的取值范围.

Answer

（1）f(x)在(0,  ),(2，+∞）内是增函数，在（-∞,0),( ,2)内是减函数.

（2）

（3）（-∞，-4］

【解析】解  (1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).    f′（x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).      

令f′(x)=0,解得 x1=0, x2=,x3=2当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：

x

(-∞,0)

0

2

(2,+∞)

f′(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(x)

 减函数

极小值

 增函数

极大值

 减函数

极小值

 增函数

所以f(x)在(0,  ),(2，+∞）内是增函数，在（-∞,0),( ,2)内是减函数.            

（2）f′(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.

 为使f(x)仅在x=0处有极值,必须有4x2+3ax+4≥0恒成立，即有Δ=9a2-64≤0.  解此不等式，得 这时，f(0)=b是唯一极值. 因此满足条件的a的取值范围是 .     

3)由条件a∈[-2,2]可知Δ=9a2-64＜0,从而4x2+3ax+4＞0恒成立.

当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.因此函数f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.                 

为使对任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，当且仅当所以b≤-4,                            

因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4］.