Question

（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列满足, 且,

其中．

（I）求数列的通项公式;

（II）设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明．

Answer

【解析】
（Ⅰ)因为,即

又,所以有,所以

所以数列是公比为的等比数列.     …………………………………………3分

由得, 解得.

故数列的通项公式为.  ……………………………………….6分

（II）因，所以

即数列是首项为,公比是的等比数列.

所以，……………………………………….……………………………………7分

则

又 .   ……………………………………8分

法一：数学归纳法

猜想

①当时，,上面不等式显然成立；

②假设当时，不等式成立

当时，.

综上①②对任意的均有……………………………………….10分

法二：二项式定理：因为,

所以

.

即对任意的均有.   ……………………………………..10分

又,  

所以对任意的均有.   ………………………….12分

【解析】略