（1）a＞0，x＞0时，f（x）＞－x
（2）f (x) 的单调递增区间为（，+∞）
（3）证明略
【解析】（1）设g (x) = f (x) + x，则g′ (x) = f ′(x) + 1 =．
∵ a＞0，x＞0，∴ g′ (x) =＞0，
于是 g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴ g（x）＞g（0）= f (0) + 0 = 0，f (x) + x＞0在x＞0时成立，
即a＞0，x＞0时，f（x）＞－x． …………………… 4分
（2）∵ f (x) = ax－（a + 1）ln（x + 1），∴ f ′(x) =．
① a = 0时，f ′(x) =, ∴ f (x) 在（－1，+∞）上单调递减, 无单调增区间．
② a＞0时，由 f ′(x)＞0得，∴ 单增区间为（，+∞）．
③ a＜0时，由 f ′(x)＞0得．
而 x＞－1，∴ 当，即－1≤a＜0时，无单增区间；
当，即a＜－1时，－1＜x＜，单增区间为（－1，）．
综上所述：当a＜－1时，f (x) 的单调递增区间为（－1，）；当－1≤a≤0时，
f (x) 无单调递增区间；a＞0时，f (x) 的单调递增区间为（，+∞）．…………… 8分
（3）证明：1）当n = 2时，左边－右边=，
∴ 左边＜右边，不等式成立． …………………… 9分
2）假设n = k时，不等式成立，即 成立，
那么当n = k + 1时，
=．… 11分
下面证明：．
思路1 利用第（1）问的结论，得 ax－ln（x + 1）a+1＞－x，
所以（a + 1）ln（x + 1）＜（a + 1）x，即 ln（x + 1）＜x，
因而 0＜ln（k + 1）＜k，所以．
以上表明，当n = k + 1时，不等式成立．
根据1）和2），可知，原不等式对任意正整数 n都成立．…………………… 14分
思路2 构造函数h (x) = ln x－x2（x≥3），则，
∴ h (x) 在 [ 3，+∞上是减函数，则 h (x)max = h (3) = ln 3－＜ln e2－＜0，
∴ 当x≥3时，ln x＜x2，即 ．
∵ k + 1∈[ 3，+∞，∴ ．
