Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2.

 （I）证明：AB₁⊥BC₁；

 （II）求点B到平面AB₁C₁的距离；

 （III）求二面角C₁—AB₁—A₁的大小．

            

Answer

（I）略

（II）B到平面AB1C1的距离为

（III）二面角C1—AB1—A1的大小为60°

【解析】解:（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点.

依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），

C1（0，0，2），因为，所以AB1⊥BC1. ……………4分 

（2）设是平面AB1C1的法向量，

由得

所以令，则，

因为，所以，B到平面AB1C1的距离为.……………8分

（3）设是平面A1AB1的法向量.由

      令=1，则

因为

又由图像可知二面角C1—AB1—A1为锐角，

所以，二面角C1—AB1—A1的大小为60°………………………12分