Question

已知函数f(x)=x3-ax2-3x.

（1）若f(x)在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x=-是f(x)的极值点，求f（x）在［1，a］上的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

Answer

（1）a≤0

（2）f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6

（3）存在，理由略

【解析】解 （1）=3x2-2ax-3,∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,

∴在［1，+∞）上恒有≥0，                   ---------2分

即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有≤1且=-2a≥0, ,--------4分

  ∴a≤0.                                               ------------5分

  (2）依题意， =0，即+a-3=0,∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x. ----------7分

  令=3x2-8x-3=0，得x1=-，x2=3.则当x变化时，,f(x)的变化情况如下表：

x

1

(1,3)

3

(3,4)

4

-

0

+

f(x)

-6

↘

-18

↗

-12

                                                             ----9分

 ∴f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6.               -----------10分

（3）函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根       -------------12分

  ∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，∴

∴存在符合条件的实数b，b的范围为b>-7且b≠-3.     -----------14分