Question

14分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，－1），且其右焦点到直线x－y＋=0的距离为3．（I）求椭圆的方程；

（II）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N，

且|AN|＝|AM|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）

（2）故满足条件的直线l存在，其斜率k的范围为－1＜k＜1且k≠0．

【解析】（I）【解析】
由题意，设椭圆方程为：（a＞1），

则右焦点为F （，0），由已知 ，解得：a＝

∴椭圆方程为：                               …………5分

   （II）【解析】
设存在满足条件的直线l，其方程为y＝kx＋b（k≠0）

由 得： ①        …………7分

设M（x1，y1）、N（x2，y2）是方程①的两根，则

②      …………9分

由韦达定理得：

从而MN的中点P的坐标为（）             ……10分

∵｜AM｜＝｜AN｜ ∴AP是线段MN的垂直平分线 ∴AP⊥MN

 于是 ，                 ………12分

代入②并整理得：（3k2＋1）（k2－1）＜0，∴－1＜k＜1

  故满足条件的直线l存在，其斜率k的范围为－1＜k＜1且k≠0．  ………14分