Question

（（本小题满分14分）

已知圆,点,点在圆运动,垂直平分线交于点．

（Ⅰ） 求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ） 设是曲线上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若

,为坐标原点,求直线的斜率；

（Ⅲ）过点且斜率为的动直线交曲线于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点？若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由．

Answer

解: （Ⅰ） 因为的垂直平分线交 于点．所以

所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………3分

设椭圆的标准方程为

则，，则椭圆的标准方程为……5分

（Ⅱ） 设，则     ①

因为，则     ②

由①②解得……………8分

所以直线的斜率……………10分

（Ⅲ）直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:

   得…………11分

由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，

设则

假设在轴上存在定点，满足题设，则

因为以为直径的圆恒过点,

则，即:  （*）

因为

则（*）变为…………12分

由假设得对于任意的,恒成立，

即解得．

因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为．………………14分

【解析】略