Question

（本小题满分12分）A（理）已知函数，其中.

(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；

(2)求函数的值域.

Answer

(1)实数的取值范围是；

(2)

【解析】(1) 方法一：存在，使得，

即存在，使得，

当时，满足要求；

当时，满足要求；                                           

当时，，解得                                

综上得，                                    ------4分

方法二：存在，使得，即存在，使得

显然，分离参数得，∴

而，其中

∴

∴                          ------4分

(2)

∴ =

=   ------6分

设，，则转化为求函数的值域.    

当时，，此时函数在上为减函数，

∴函数的值域为，即

当时，

此时函数在上为减函数，

∴函数的值域为，即      ------8分

当时，

令，解得或（舍）.

当变化时，与的变化情况如下表：

0

极小值

若，即 时，函数在上为减函数.

∴函数的值域为，即

若，即 时，函数在上递减，在上递增

∴

函数在上的最大值为与中的较大者.

∵，，∴

∴当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时  ------11分

综上，

当时，函数的值域为；

当时，函数的值域为；

当时，函数的值域为               ------12分