Question

如图,椭圆的中心在原点,为椭圆的左焦点, 为椭圆的一个顶点,过点作与垂直的直线交轴于点, 且椭圆的长半轴长和短半轴长是关于的方程(其中为半焦距)的两个根.

 (1)求椭圆的离心率;

(2)经过、、三点的圆与直线

相切，试求椭圆的方程.

Answer

（1）

（2）

【解析】(1)依题意，由根与系数的关系得，

，∴，

又∵，∴，解得；

（直接求出亦可）.        ……4分

(2)由(1)知,令,

则有,从而,

∴直线的方程为,点坐标为.      ……8分

∵△是直角三角形,∴圆心为,半径为,……10分W$

圆心到直线的距离为，

解得，               ……12分

所以椭圆的方程为    ……14分