Question

(本小题满分14分) 如图3所示，四棱锥中，底面为正方形， 平面，，，，分别为、、的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

Answer

（1）证明略；

（2）

【解析】（1）证法1：∵平面，平面，∴．

又为正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，．………4分

∵，∴．………6分

（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，……………8分

设平面DFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．…………………………10分

设平面EFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．……………………………12分

∵．

设二面角的平面角为θ，则．

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分

解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，W

则，，，，，

，，．………………………………8分

过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．………………………………………………10分

再过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵与所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分