Question

（本小题满分12分）

如图， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点．

  （Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；

  （Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer

（1）   略

（2）  

【解析】（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                            …………………2分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC1 ，又平面BCC1         ……………………………………4分

∴ AC⊥BC1             ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接         …………6分

是中点，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴  又且

∴平面，平面         ………8分

∴  又

∴是二面角的平面角      ……………………………………10分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在中，，，

∴       …………………………………………11分

∴二面角的正切值为  …………………………………………12分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………8分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小  …………9分

则由   令，则，∴                                          ………………10分

   ……………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的余弦值为    ………………………… 12分