Question

（本小题满分14分）20. （14分）设函数，其中为常数．

（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；

（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．

Answer

（1）函数在定义域上单调递增；

（2）当且仅当时有极值点;    

当时，有惟一最小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点。

（3）证明略

【解析】（1）由题意知，的定义域为，

      …… 1分

当时， ，函数在定义域上单调递增．   …… 2分

（2）设，若函数的有极值点，则G(x)=0有解

 …………………3分

当时，有两个不同解， 

时，，

,

此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

减

极小值

增

由此表可知：时，有惟一极小值点，

ii)   当时，0<<1  此时，，随的变化情况如下表：

增

极大值

减

极小值

增

有极大值和极小值点；

综上所述：

当且仅当时有极值点;    

当时，有惟一最小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点

（3）由(2)可知当时，函数，

此时有惟一极小值点

 令函数