Question

（本题满分14分）

已知函数，其中.定义数列如下：，.

（I）当时，求的值；

（II）是否存在实数m，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数的值，若不存在，请说明理由；

（III）求证：当时，总能找到，使得.

Answer

(1)  ，，.

(2) 

(3)  略

【解析】【解析】
（Ｉ）因为，，所以，

，.                   …………4分

（II）方法一：假设存在实数，使得构成公差不为0的等差数列.

由（I）得到，，

.因为成等差数列，

所以，           …………6分

所以，，       化简得，

解得（舍）,.  …………8分

经检验，此时的公差不为0，

所以存在，使构成公差不为0的等差数列.  …………9分

方法二：因为成等差数列，

所以，   …………6分

即，

所以，即.

因为，所以解得.    …………8分

经检验，此时的公差不为0.

所以存在，使构成公差不为0的等差数列.  …………9分

  （III）因为,

又 ,  所以令.

由，

    ，

     ……

     ，将上述不等式全部相加得，即，

因此只需取正整数，就有.………14分