Question

（本小题满分14分）

已知函数，，且

（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；

（Ⅱ）对于恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）当，且时，试比较与的大小．

Answer

（Ⅰ）函数的定义域为  ，证明略

（Ⅱ）①当时，；②当时，

（Ⅲ）当时，  

【解析】【解析】
（Ⅰ）由，解得或，

∴ 函数的定义域为                        …………………2分

当时，

∴ 在定义域上是奇函数。                        …………….4分

（Ⅱ）由时，恒成立，

①当时

∴对恒成立

∴ 在恒成立           ………………………6分

    设

则

∴当时，

∴ 在区间上是增函数，

∴                                           …………………………8分

②当时

由时，恒成立，

∴对恒成立

∴ 在恒成立               ………………………9分

    设

由①可知在区间上是增函数，

∴                                             …………………………10分

（Ⅲ）∵

∴

当时，，=2，∴

当时，，=6，∴

当时，           …………………………12分

下面证明：当时，

   证法一：当时，

∴当时，       …………………………14分

证法二：当时，要证明

只需要证明

（1）当时，，，成立

（2）假设，不等式成立，即

那么

∴

又因为

∴

∴时，不等式成立

综合（1）和（2），对，且不等式成立

∴当时，   …………………………14分

证法三：∵时，

构造函数

∴当时，

∴在区间是减函数，

∴当时，

∴在区间是减函数，

时，

时，，即

∴当时，    …………………………14分