Question

（本小题满分14分）

如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC=.

   （Ⅰ）求证:PD⊥面ABCD；

   （Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小.

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角A－PB－D的大小为60°

【解析】（Ⅰ）证明:,

.……2分

又,……4分

∴  PD⊥面ABCD………6分

（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

∵PD⊥面ABCD, ∴,

又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

∴AO⊥PB,

∵,

∴,从而,

故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分

∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,

∴在Rt△PDB中, ,

又∵,    ∴,………………12分

  ∴  .

故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………14分

（也可用向量解）