Question

(本小题满分14分)

如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，

为中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）略

（2）二面角的余弦值为

【解析】（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，

故，………2分

且，从而．所以为直角三角形，

．……4分

又．所以平面．……6分

（Ⅱ）解法一：

取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．……9分

由得平面．……11分

所以，又，故 …13分

所以二面角的余弦值为…14分

解法二：

以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．

的中点，．

．

故等于二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值为．