Question

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若动点满足

且点的轨迹与抛物线交于两点.

   （1）求证：；

   （2）在轴上是否存在一点，使得过点的直线交抛物线于两点，并以线段为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）略

（2），得,即为所求圆心的轨迹方程。

【解析】【解析】
（1）由知点的轨迹是过两点的直线，         --------1分

故点的轨迹方程是：

，

即           --------3分

          --------5分

，故

                       --------7分

   （2）假设存在，使得过点的直线交抛物线于两点，并以线段为直径的圆都过原点。                                      --------8分

，由题意，直线的斜率不为零， 所以，可设直线的方程为，代入得

                  --------10分

即

同时，

       --------12分

则

又，解得，满足式

   此时，以为直径的圆都过原点，     

设弦的中点为

   消去得,即为所求圆心的轨迹方程。  --------14分