Question

（本题满分14分）

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知

,,现将四边形ABCD沿BD折起，

使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱

AC、AD的中点.

（1）求证：DC平面ABC；

（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；

（3）求二面角B－EF－A的余弦.

	图甲在
		图乙

 

Answer

（1）略

（2）

（3）二面角B－EF－A的余弦为

【解析】

（1）证明：在图甲中∵且 ∴ ,

即------------------------------------------------2分

在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD.------------------- -----------4分

又，∴DC⊥BC,且

∴DC平面ABC. -------------------------------------5分

（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，垂足为点E

∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角------------------------------7分

在图甲中，∵,  ∴,

设则,,-9分

∴在Rt△FEB中，

即BF与平面ABC所成角的正弦值为.----------------------10分

解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，

  设，则，----------------6分

可得,,

，，

∴,-------------8分

设BF与平面ABC所成的角为

由（1）知DC平面ABC

∴

∴------------------------------------------10分

（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，

又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角--------------------------------12分

在△AEB中，

∴

即所求二面角B－EF－A的余弦为.----------------14分