Question

（本题满分14分）

设函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）若，试确定的单调性；

（3）记，且在上的最大值为M，证明：．

Answer

（1）当时,函数有极大值，，

当时，函数有极小值，

（2）当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在单调递减

当时,函数在和上单调递增，在上单调递减

（3）略

【解析】

【解析】
（1）若，则

有

令得,--------------------------------1分

∵当时，当时，当时，

∴当时,函数有极大值，， -----------2分

当时，函数有极小值， ----------------3分

(2)∵ 即

又

∴＝------------5分

当即时，

∴函数在上单调递增； -----------------------6分

当，即时，由得或，

由得； ----------------7分

当，即时，由得或，

由得；-------------------------8分

综上得：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在单调递减-9分

当时,函数在和上单调递增，在上单调递减.-10分

（3）根据题意＝，

∵在上的最大值为M，

∴

即 -------------------12分

2＝

∴    ----------------------14分