Question

(本小题满分14分)

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

(Ⅰ)求此几何体的体积；

       (Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；

       (Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由．

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】【解析】
（Ⅰ）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，，

，，

此几何体的体积为；    5分             

解法一：（Ⅱ）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，，，

；即异面直线与所成角的余弦值为。9分

（Ⅲ）在上存在点Q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；

连接、，在和中，

，∽，

，

，，，

，，，

以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；

，，，，

，；             14分

解法二：（Ⅰ）同上。

（Ⅱ）以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。

（Ⅲ）设存在满足题设的点，其坐标为，

则，，，

，    ①；

点在上，存在使得，

即，化简得，     ②，

②代入①得，得，；

满足题设的点存在，其坐标为。