Question

（(本小题满分14分)

已知函数是函数的极值点。

（Ⅰ）当时，求a的值，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.

（Ⅲ）是否存在这样的直线，同时满足：

①是函数的图象在点处的切线   

②与函数 的图象相切于点，

如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（1）,

．                            ．．．．1分

由已知得，解得a=1．                ……2分

．

当时，，当时，．又，     ．．．．3分

当时，在，上单调递增，在上单调递减．  ………4分

（2）由（1）知，当时，单调递减，

当，单调递增，.         ………………2分

要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.

①当时，m=0或；                                   ．．．．3分

②当b=0时，；                                      ．．．．4分

③当.                                                                    ．．．．5分

（3）假设存在， 时，

函数的图象在点处的切线的方程为：       ．．．．1分

直线与函数的图象相切于点，

，，所以切线的斜率为

       所以切线的方程为

       即的方程为：                                          …………2分

       得

       得其中                      ．．．．3分

       记其中

       令                                         ．．．．4分

1

+

0

-

极大值

又，

       所以实数b的取值范围的集合：       …………5分

【解析】略