.(本小题满分14分）如图7，在直三棱柱中，，分别是的中点，是的中点. (1)...

.(本小题满分14分）

如图7，在直三棱柱中，，分别是的中点，是的中点.

(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值.

解:(1)证明: 证法一:在直三棱柱中,平面,平面分别是的中点， ……1分在中, 易证在中, 同理可得为等边三角形, ……2分又是的中点, ……3分 ……4分 ……5分证法二:以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……1分由题设知点的坐标分别为. ,,……2分 =0 ,……3分 ……4分 ……5分 (2)解法一：取的中点，连又平面……6分 ……7分 ……8分 ……9分解法二：取的中点，连又 ……6分三棱锥的体积为 ……7分 ……8分 =……9分解法三：易知与是全等的边长为的等边三角形等腰三角形的底边上的高为三角形的面积为……6分由（1）知三棱锥的体积为 ……7分 ……8分 ……9分（3）解法一：由（2）解法一、二易知平面，过F作于H,连接HE 是的中点，平面HEF，平面HEF 平面，平面即是所求二面角的平面角. ……11分在中, ……13分二面角的余弦值是.……14分解法二: 以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……10分由题设知点的坐标分别为. ,,……11分设平面的法向量为 ,取,得.……12分 DA ……13分结合图象知二面角的余弦值是.……14分【解析】略

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考点分析：

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