Question

(本小题满分14分）

已知函数

（1）当时，函数在处的切线方程为，求的值；

（2）当时，设的反函数为（的定义域即是的值域）.证明:函数在区间内无零点,在区间内有且只有一个零点；

（3）求函数的极值.

Answer

解:（1）当时,, ……1分

,

……2分

函数在处的切线方程为: ……3分

整理得:

所以有,

解得……4分

(2) 当时，,

所以,……5分

=，

令得；令得,令得，

故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在处取得极小值,

进而可知在上为减函数，在上为增函数,在处取得极小值.……6分

又.……7分

所以,函数在区间内无零点，在区间有且只有一个零点.8分

(3)当时,在上单调递增,且>0. ……9分

当时,.

①若则在上单调递增,且.

又,在R上是增函数,无极值. ……10分

②若,,则在上单调递增.

同理,在R上是增函数,无极值. ……11分

③若,令,得.

当时,

当时,

所以,在上单调递增,在上单调递减.

又在上单调递增,故.……13分

综上, 当时,.

     当时, 无极值. ……14分

【解析】略