Question

（本小题满分14分）

已知向量, 向量, 且, 动点的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程;  

（2）证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

Answer

（1）轨迹E的方程为：。

（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,

且.                 

【解析】解:（1）因为,, ,

所以,    所以，轨迹E的方程为：. …………… 4分

 (2).设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,                               …………………… 6分

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即

即，恒成立.                                       …………………… 10分

又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,

且.