Question

（本小题满分12分）甲有一个装有个红球、个黑球的箱子，乙有一个装有个红球、个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定:所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（，，，）．

(Ⅰ)当,时，求甲获胜的概率；

（Ⅱ）当，时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分．求甲的得分期望达到最大时的，值；

（Ⅲ）当时，这个游戏规则公平吗？请说明理由．

Answer

【解析】
(Ⅰ)由题意，甲、乙都取红球的概率,

甲、乙都取黑球的概率,∴甲获胜的概．……… 3分

（Ⅱ）令表示甲的分数，则的取值为0,1,3, ，， ，

0

1

3

得的分布列如下：

于是；

又且，∴，且

故当时，的最大值为．               ……………………………… 7分

（Ⅲ）由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有 种不同情形，

每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，则，，

∴，

当时，，甲、乙获胜的概率相等，这个游戏规则是公平的；

当时，，甲获胜的概率大于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平，有利于甲．

【解析】略